1 просмотров

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

  1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
  2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
  3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
  4. формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
  5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
  6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
  7. формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Статья в тему:  Организация бизнеса по производству корпусной мебели. Производство мебели как бизнес: какое направление выбрать? Изменение процедур набора кадров

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a 2 — b 2 = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a 2 — b 2 .

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a 2 — b 2 ≠ (a — b) 2 .

Докажем, что a 2 — b 2 = (a — b) * (a + b).

    Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

a 2 — b 2 = a 2 — b 2 + ab — ab

  1. Сгруппируем иначе: a 2 — b 2 + a * b — a * b = a 2 — a * b + a * b — b 2
  2. Продолжим группировать: a 2 — a * b — b 2 +a * b = (a 2 — a * b) + (a * b — b 2 )
  3. Вынесем общие множители за скобки:

    (a 2 — a * b) + (a * b — b 2 ) = a *(a — b) + b *(a — b)

  1. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
  2. Результат доказательства: a 2 — b 2 = (a — b) * (a + b)
  3. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a 2 — b 2 , нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a 2 — b 2 .

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

Пример: (x + 3y) 2 = x 2 + 2 ·x·3y + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Статья в тему:  Варианты приготовления минтая. Как приготовить филей минтая

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

Пример: (4x –y) 2 = (4x) 2 -2·4x·y + y 2 = 16x 2 — 8xy + y 2

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

Пример: 9x 2 – 16y 2 = (3x) 2 – (4y) 2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример: (x + 2y) 3 = x 3 + 3·x 2 ·2y + 3·x·(2y) 2 + (2n) 3 = x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b) 3 = a 3 — 3a 2 b+3ab 2 -b 3

Пример: (2x – y) 3 = (2x) 3 -3·(2x) 2 ·y + 3·2x·y 2 – y 3 = 8x 3 – 12x 2 y + 6xy 2 – y 3

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Пример: 125 + 8y 3 = 5 3 + (2y) 3 = (5 + 2y)(5 2 — 5·2y + (2y) 2 ) = (5 + 2y)(25 – 10y + 4y 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

a 3 — b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 )

Пример: 64x 3 – 8 = (4x) 3 – 2 3 = (4x – 2)((4x) 2 + 4x·2 + 2 2 ) = (4x – 2)(16x 2 + 8x + 4)

Формулы для квадратов

  • (a pm b)^2= a^2 pm 2ab + b^2
  • a^2 — b^2 = (a + b)(a — b)
  • (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
Статья в тему:  Основные типы отопительных приборов. Виды радиаторов

Формулы для кубов

  • (a pm b)^3= a^3 pm 3a^2b +3ab^2 pm b^3
  • a^3 — b^3 = (a pm b)(a^2mp ab+b^2)
  • (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc

Формулы для четвертой степени

  • (a pm b)^4= a^4 pm 4a^3b +6a^2b^2pm 4ab^3+b^4
  • a^4 — b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 +b^2) (выводится из a^2 — b^2)

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector